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    【白墨子实验室】从区块链安全的角度看黎曼猜想被证明传闻

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      墨客战士

      近日,一则发于外媒,随后被国内媒体大肆传播的消息在媒体圈炸开了锅:黎曼猜想被证明了。而区块链行业也跟着躁动起来,特别是很多区块链自媒体,各种传言一时之间甚嚣尘上:加密算法要被破解了,数字币归零在即,区块链行业即将完蛋,链圈、币圈的小伙伴们赶紧准备跑路吧。

      【白墨子实验室】从区块链安全的角度看黎曼猜想被证明传闻

      白墨子实验室是专注区块链安全研究的,虽然不是数学界专业人士,无法对黎曼猜想进行深入研究,但既然涉及到了区块链的安全问题,事关自身饭碗,白墨子对这样劲爆的消息自然也不能放过,必须要下一番功夫了解一下的。

      小白硬着头皮啃了几天的专业报道和达人解读,把大家最关心的内容进行了梳理,跟各位关心区块链安全的小伙伴们分享一下

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      黎曼猜想是什么?

      “黎曼猜想”由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出。简单的理解,黎曼猜想就是一个找素数的方法。

      我们开始一起回忆下小学数学:素数在自然数中是一种特别的数,它只能被1和自己整除,比如2、3、5、7。每个自然数都可以唯一地分解成有限个素数的乘积,比如,6=2*3,8=2*2*2,某种程度上,素数是构成整个自然数的“基石”。

      但是有一个问题几百年来一直困扰着数学家们,素数的分布看似毫无规律可循,小一点的素数还好推算,大的素数怎么推算呢?

      比如2、3、5、7、11、13、17,我们假设17后面的下一个素数是P,那么这个P是多少呢?如果一直找下去,我们该如何知道下一个P是多少呢?

      这就是黎曼猜想要解决的问题,他想找到素数精确的分布规律。

      为便于各位小伙伴的理解,以上是对黎曼猜想的一个非常通俗的描述。如果再用稍微专业一点的语言描述,我们借用科普大牛卢昌海的说法:

      粗略地说,它是针对一个被称为黎曼zeta(ζ)函数的复变量函数(即变量与函数值都可以在复数域中取值的函数)的猜想。

      黎曼ζ函数跟许多其它函数一样,在某些点上的取值为零,那些点被称为黎曼ζ函数的零点。在那些零点中,有一部分特别重要的被称为黎曼ζ函数的非平凡零点。

      黎曼猜想所猜测的是那些非平凡零点全都分布在一条被称为“临界线”的特殊直线上。

      虽然已经尽量简单地描述了,是不是依然感觉有点晦涩?这很正常,本来数学就不是一般人能搞的事,那是大牛们的地盘,我等外行看个热闹就好。为避免大家被绕晕,下面我们再稍微解释一下。

      早在1737年,大数学家欧拉就发现了质数分布问题与Zeta函数的联系,给出并证明了欧拉乘积公式,使得Zeta函数成为研究质数问题的经典方法。

      黎曼把欧拉提出的zeta 函数,拓展到了适用于整个复平面。黎曼Zeta函数有两种零点,一种是位于实数轴线上的零点,被称为平凡零点,另一种是位于其他复平面区域上的零点,被称为非平凡零点,目前数学家已经证明这些非平凡零点全部位于实部区间为0到1的复平面内,而黎曼则大胆猜想,这些非平凡零点全部位于实部为1/2的一条直线上。

      这就是黎曼猜想。

      2

      证明黎曼猜想的意义是什么?

      黎曼猜想被数学界认为是最重要的数学猜想,为什么具有如此重要的地位?

      首要的原因是它跟其它数学命题之间有着千丝万缕的联系。

      据统计,在今天的数学文献中已经有一千条以上的数学命题是以黎曼猜想(或其推广形式)的成立为前提的。这表明黎曼猜想及其推广形式一旦被证明,对数学的影响将是十分巨大的,所有那一千多条数学命题就全都可以荣升为定理;反之,如果黎曼猜想被推翻,则那一千多条数学命题中也几乎无可避免地会有一部分成为陪葬。一个数学猜想与为数如此众多的数学命题有着密切关联,这在数学中可以说是绝无仅有的。

      其次,黎曼猜想与数论中的素数分布问题有着密切关系。

      数论是数学中一个极重要的传统分支,被德国数学家高斯称为是“数学的皇后”。素数分布问题则又是数论中极重要的传统课题,一向吸引着众多数学家的兴趣。这种深植于传统的“高贵血统”也在一定程度上增加了黎曼猜想在数学家们心中的地位和重要性。

      必须要说的是,素数问题在密码学中存在广泛的应用。例如,素数分解问题是赫赫有名并被广泛应用的RSA密码算法的基础,黎曼猜想能够跨界引起区块链产业的关注,这是主要原因。

      再者,一个数学猜想的重要性还有一个衡量标准,那就是在研究该猜想的过程中能否产生出一些对数学的其它方面有贡献的结果。用这个标准来衡量,黎曼猜想也是极其重要的。事实上,数学家们在研究黎曼猜想的过程中所取得的早期成果之一,就直接导致了有关素数分布的一个重要命题——素数定理——的证明。而素数定理在被证明之前,本身也是一个有着一百多年历史的重要猜想。

      最后,并且最出人意料的,是黎曼猜想的重要性甚至越出了纯数学的范围,而“侵入”到了物理学的领地上。

      20世纪70年代初,人们发现与黎曼猜想有关的某些研究,居然跟某些非常复杂的物理现象有着显著关联。这种关联的原因直到今天也还是一个谜。但它的存在本身,无疑就进一步增加了黎曼猜想的重要性。

      有这许多原因,黎曼猜想被称为最重要的数学猜想是当之无愧的。

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      黎曼猜想被证明了吗?

      这一次或许你的朋友圈已经被震惊了,可是数学圈还没有。敢于质疑权威并不是你想像中的一个科学家所具有的稀有宝贵品质,而是一个科学家应该具有的基本素质。像 Atiyah 这样的活着的荣膺数学界两大桂冠Fields,Abel奖项的权威并不多见,他在指标定理,K理论和规范理论方面所作出的贡献是有目共睹,但是数学界还是大多持怀疑态度。毕竟这是一个人人都可以上arXiv上宣布自己证明了 Riemann 猜想的年代。同时Atiyah不是第一个也不是唯一宣称证明了黎曼猜想的人,在arXiv上简单搜索一下,就可以看到如下结果:

      【白墨子实验室】从区块链安全的角度看黎曼猜想被证明传闻

      这些证明最终都没有经受住数学界的严格验证,昙花一现而已。

      术业有专攻,Atiyah本人的研究专长并不在数论领域,他也已经不是第一次差点搞个大新闻了,之前Atiyah在arXiv上发表了一篇文章The Non-Existent Complex 6-Sphere ,然而这篇文章的证明并不被专家认可。

      关于本次爆料,由于论文已经正式公布,已经有更多更翔实的论述,而不仅仅是猜测。这里我们引用数学大师丘成桐的观点:

      “我问过一批专家,大家都说这篇文章(指Atiyah的证明论文)没有提供一般数学家要求的严格性的定理证明。

      ……

      有时候不完备的证明也会带有启发能力,但是我还没有看到这篇文章的启发能力。”

      邱大师的话简单来说,Atiyah的论文并没有证明黎曼猜想,甚至不具备启发意义。

      喧嚣之后,终归沉寂。黎曼猜想被证明,路还很远。

      4

      如果黎曼猜想得证,对密码安全和区块链安全有什么影响?

      回到正题,如果Riemann猜想已经被证明了,地球还安全吗?区块链技术还靠谱吗?数字币会归零吗?

      目前,区块链安全界的基本观点是:就算黎曼猜想被证明,也没区块链加密算法什么事。

      现在,关心区块链安全的各位小伙伴应该安心了,可以静下心来耐心阅读下面比较详细的解读。

      丘成桐指出“解决黎曼猜想的结果,会对素数的结构和分布得到深度的了解,最后对 RSA 密码的硏究会有影响是无庸置疑的事情,至于如何达成这个目标,和证明或反证明的方法都有密切关系,所以现在不好说。” 

      从理论角度看,证明黎曼猜想能够给素数分布提供很多启示,比方说我们可以用Riemann猜想来估计了素数定理的误差项,我们可以用Riemann猜想来估计相邻素数之间的间隙,我们可以用Riemann猜想来证明数论的一万个大定理,但是黎曼猜想被证明后可以分分钟破解RSA算法那就是痴人说梦。 

      需要用到素数的常见加密算法基本就是RSA。即使我们可以通过Riemann猜想来得知所谓的素数公式,我们也没法用知道的可以所有素数这个事实来快速破解RSA算法。为了破解RSA算法,我们需要的不是素数分布的描述公式,我们需要分解质因数的有效方案。

      现在业界常用的RSA算法的加密密钥的大小是2048位,根据素数定理,这个大小范围内素数大约占了所有整数的几千分之一。我们或许可以用相关知识来给破解RSA的算法提速数以万倍,但是这个数字显示的进步很容易就被4096位的密钥化为乌有,因为当从密钥长度2048增加到从4096位,解密的复杂度提高了将近一万亿倍。

      而从应用角度来看,黎曼猜想的命题是完整的,只要认为它为真就可以拿来用,而不需要一定等到‘证明了为真’才可以用。而且,从来没听说过针对任何领域的任何攻击方法里,黎曼猜想起到了重要作用。

      同时非常重要的一点是,RSA虽然在普通工业加密中有一些应用,但是在区块链领域却很少见到它的身影。如比特币使用的是专门经过修改的椭圆曲线加密。而其他虚拟货币使用的加密算法,几乎很少会使用RSA,所以和黎曼猜想没多大关系。 

      对于大多数区块链技术而言,使用的哈希算法和素数没有关系,使用的非对称算法是ECC,ECC是基于椭圆曲线上的离散对数问题,中间固然用到了素数的相关知识,但是其安全性并不受黎曼猜想是否得证的影响。

      因此,各位小伙伴放宽心,完全没必要杞人忧天,区块链的安全性依然是有坚强保障的。

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